「抵抗」「コンデンサー」「コイル」を使ったフィルター回路〔４〕（R-Cフィルターの入出力波形の描画）

今回は、前回のボード線図に続いて、「R-Cフィルター」の入出力波形のグラフを作成します。

前回記事の回路図と入出力特性の計算式

最初に「R-Cフィルター回路」を下に示します。

次に、この「フィルター回路」の出力波形「\(v_o(t)\) 」を、入力波形「\(v_i(t)\) 」で表した式を下に示します。

$$v_o(t)=\displaystyle\frac{1}{1+(\omega CR)^2} v_i(t) -j\displaystyle\frac{\omega CR}{1+(\omega CR)^2} v_i(t) $$

この式は、下の記事で求めました。

「「抵抗」「コンデンサー」「コイル」を使ったフィルター回路〔２〕（Ｒ－Ｃ）」

この式には「虚数：\(j\) 」が含まれるので、Excelで波形を描くには、「虚数：\(j\) 」を別の方法で表す必要があります。

入力波形は、上の回路図に書いているように「\(v_i(t) = V_{peak} \sin(\omega t)\) 」ですが、「虚軸」は「実軸」に対して「90度」進んでいます。

そのため、出力波形の「実軸部」と「虚軸部」を下の式で表しました。

〔実軸部〕

$$\displaystyle\frac{1}{1+(\omega CR)^2} v_i(t)$$

$$= \displaystyle\frac{V_{peak}}{1+(\omega CR)^2} \sin(\omega t)$$

$$= \displaystyle\frac{V_{peak}}{1+(2\pi f CR)^2} \sin(2\pi ft)$$

〔虚軸部〕

$$-j\displaystyle\frac{\omega CR}{1+(\omega CR)^2} v_i(t) $$

$$= -j\displaystyle\frac{\omega CRV_{peak}}{1+(\omega CR)^2} \sin(\omega t) $$

$$= -\displaystyle\frac{\omega CRV_{peak}}{1+(\omega CR)^2} \sin(\omega t+90\deg) $$

$$= -\displaystyle\frac{\omega CRV_{peak}}{1+(\omega CR)^2} \cos(\omega t) $$

$$= -\displaystyle\frac{2\pi f CRV_{peak}}{1+(2\pi f CR)^2} \cos(2\pi ft) $$

「実軸」の電圧値の式は、そのまま使用しています。

「虚軸」は、「実軸」より位相が「\(90\)度」進んでいるので、「虚数単位：\(j\) 」の代わりに、「\(\sin(\omega t)\) 」の位相を「\(90\)度」進めて「\(\sin(\omega t+90\deg)\) 」と表しました。

次に、「\(\sin(\omega t+90\deg)\) 」を「\(\cos(\omega t)\) 」と表しました。

その他にも、両方の式に「\(\omega=2 \pi f\) 」を代入しました。

この方法が常に使えるのかは分かりませんが、今回のように「\( A \sin (\omega t) +j B \sin (\omega t)\) 」のような、シンプルな式では大丈夫そうです。

一応、全体の式を書いておきます。

$$v_o(t)= \displaystyle\frac{V_{peak}}{1+(2\pi f CR)^2} \sin(2\pi ft) -\displaystyle\frac{2\pi f CRV_{peak}}{1+(2\pi f CR)^2} \cos(2\pi ft) $$

それでは、次の項ではこれを計算する表を作成します。

フィルター回路の入出力電圧の瞬時値を計算する表の作成

フィルターの入出力波形は、下の値を使って作成します。

・電圧振幅（Vpeak）：10V

・抵抗（R）：1Ω

・コンデンサー（C）：10μF（=0.00001F）

・周波数（f）：0.1kHz ～ 1000kHz（表作成時は暫定で10kHz）

作成する入出力波形は、横軸が経過時間です。

経過時間は基点が0usで、波形2周期分にします。

例えば周波数：10kHzだと、1周期は「1/10kHz=1/10000Hz=0.0001秒=100us」なので、2周期分だと200usです。

下に、作成したExcel表の外観を示しますが、経過時間は「B列」に記載しています。

この表を大まかに説明すると、まず一番左の「B列」が「経過時間」です。

「経過時間」は、上にも書いたように「0～200us」ですが、これは「セルC4」の「10.0」kHzから計算しました。

「10kHz」の逆数を計算すると周期の「100us」になるので、これを100分割して「1us」ステップで増やしました。

となりの「C列」は入力波形なので、上の回路図にある「\(vi(t)=V_{peak}\sin(\omega t)\) 」です。

そのとなりの「D列」が出力波形ですが、右の「E列」と「F列」の足し算を行っています。

「E列」は「出力波形＠実部」で、前の項の〔実軸〕のところに書いた式が入っています。

「F列」は「出力波形＠虚部」で、前の項の〔虚軸〕のところに書いた式が入っています。

具体的に、どんな式を入れているかを、これから書いていきます。

最初に、表の計算式の全体イメージを下に示します。

個別の内容は、これから説明していきますので、ここでは全体的なイメージとして眺めておいてください。

それでは、この表を左の列から順番に説明していきます。

〔経過時間〕

左端の「B列」は「経過時間」で、一番上は基点の「0us」です。

その下は、「1us」ずつ時間が増えていきますが、これは「10kHz」の場合です。

この「1us」は、下記の式で計算しました。

1周期/100\(=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{10000Hz}}{100}=0.000001s=1\mu s\)

この式を、Excelの計算式にすると下記になります。

「セルB9」でこの計算式を説明すると、「$C$4」は単位が「kHz」なので、最初に1000倍して単位を「Hz」にし、その逆数を計算して、単位が「s（秒）」の周期を計算します。

次に、単位を「s」から「us」にするために「1000000」倍しました。

「セルB9」の式がコピーできるように、この式の「文字列」を下に貼っておきます。

=B8+(1/($C$4*1000)/100)*1000000

〔入力波形と出力波形〕

「入力波形」と「出力波形」の計算式は下になります。

入力波形\(=V_{peak} \sin(2\pi f t)\)

出力波形\(=(\)出力波形＠実部\()+(\)出力波形＠虚部\()\)

これらの式を、Excelの計算式にすると下記になります。

前回の「「抵抗」「コンデンサー」「コイル」を使ったフィルター回路〔３〕（R-Cフィルターのボード線図作成法）」で説明した内容を確認すると、これらの式の書き方が分かると思います。

「セルC8」の式は下記になります。

=C$5*SIN(2*PI()*C$4*1000*B8/1000000)

「セルD8」の式は下記になります。

=E8+F8

〔出力波形＠実部〕

「出力波形＠実部」の計算式は、前の項に書きましたが下記になります。

出力波形＠実部 \(= \displaystyle\frac{V_{peak}}{1+(2\pi f CR)^2} \sin(2\pi ft)\)

この式を、Excelの計算式にすると下記になります。

新しい関数や計算方法は使用していないので、補助単位に注意しながら式を書きます。

「セルE8」の式は下記になります。

=C$5/(1+(2*PI()*C$4*1000*$C$3*$C$2)^2)SIN(2*PI()*C$4*1000*B8/1000000)

〔出力波形＠虚部〕

「出力波形＠虚部」の計算式も、前の項に書いた下の式になります。

出力波形＠虚部\(= -\displaystyle\frac{2\pi f CRV_{peak}}{1+(2\pi f CR)^2} \cos(2\pi ft) \)

この式を、Excelの計算式にすると下記になります。

この計算式も、これまで使用した関数を使用しています。

「セルF8」の式は下記になります。

=-2*PI()*C$4*1000*$C$3*$C$2*C$5/(1+(2*PI()*C$4*1000*$C$3*$C$2)^2)*COS(2*PI()*C$4*1000*B8/1000000)

8行目が完成したら、8行目をコピーして、9～208行目に貼り付けたら表は完成です。

波形のグラフの描き方

計算を行う表ができたら、今度は波形のグラフを作成します。

下の画像に示すように、表の「セルB7～D208」を選択します。

これで散布図のグラフを選択すると、下のグラフが表示されます。

グラフ作成の手順は、前回の「「抵抗」「コンデンサー」「コイル」を使ったフィルター回路〔３〕（R-Cフィルターのボード線図作成法）」に書きましたので、それを参考にしてグラフを整えると、下記のようなグラフになります。

「セルC4」の周波数の値を変えると、表の計算値が更新されます。

ただ、グラフの横軸は自動的には変わらないので、同じグラフをコピーして、横軸の異なるグラフをいくつか作成しておくと、周波数を変える度に横軸を変える必要が無くなります。

例えば、下記のような感じです。

周波数によって、振幅と位相がどのように変化するかを見ると、波形がどのように変化するかの理解が深まると思います。

今回は電源フィルターのイメージで、「R-Cフィルター」を作成しましたが、「R：抵抗」に電流が流れると、「R：抵抗」で電圧が下がってしまいます。

そこで次回は、「R：抵抗」の代わりに、理想的には抵抗値がゼロの「L：コイル」を使うとどうなるかを書こうと思います。

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