「抵抗」「コンデンサー」「コイル」を使ったフィルター回路〔６〕（(Ｒ+Ｌ)-Ｃ：計算式）

前回書いた「Ｌ-Ｃフィルター回路」は、出力振幅が共振周波数では理論上無限大になるので、高周波の出力ノイズを小さくしたい「電源フィルター」としては課題があると書きましたが、今回はコイルに直列抵抗を加えると、どう変化するかを書きます。

「(R+L)-C」フィルター回路

最初に今回の回路図ですが、下記になります。

前回の回路図に似ていますが、「電圧源：\(v_i(t)\) 」と「コイル：\(L\) 」の間に、「抵抗：\(R\) 」が入っています。

「波形」や「ボード線図」を描くときに、使用する値を下に示します。

・電圧振幅（Vpeak）：10V

・コイル（L）：10μH（=0.00001H）

・コンデンサー（C）：10μF（=0.00001F）

・抵抗（Ｒ）：0.1Ω　または　1.0Ω

・周波数（f）：0.1kHz ～ 1000kHz

この回路で、「コイルのインピーダンス：\(Z_L\) 」、「コンデンサーのインピーダンス：\(Z_C\) 」、「抵抗：\(R\) 」の関係式は、「\(v_i(t)\) 」、「\(v_o(t)\) 」を使うと下の式になります。

$$v_o(t)=\displaystyle\frac{v_i(t)}{R+Z_L+Z_C} \times Z_C$$

この式はこれまでと同様、最初に「\(v_i(t)\) 」を「\(R+Z_L+Z_C\) 」で割って流れる電流を求め、それに「\(Z_C\) 」に掛けて「出力電圧：\(v_o(t)\) 」を求めます。

それでは次の項で、上の式を変形してボード線図や波形を計算できる式にしていきます。

今回の投稿は、結果的に計算式ばかりになったので、もし面倒なら、次回投稿予定の「ボード線図」や「入出力波形」の方を眺めてもらってもよいと思います。

フィルターの減衰量を表す式の複素数形式化

最初に、前の項の計算式を変形して、フィルターの減衰量が計算できる「複素数形式：\(a+jb\) 」の形にします。

フィルターの減衰量は、出力を入力で割ることで求まるので、まずは「\(\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}\) 」の式にします。

$$v_o(t)=\displaystyle\frac{v_i(t)}{R+Z_L+Z_C} \times Z_C$$

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{Z_C}{R+Z_L+Z_C}$$

この式に、「\(Z_L=j \omega L\) 」と「\(Z_C=\displaystyle\frac{1}{j \omega C}\) 」を代入して、「虚数：\(j\) 」を含む「虚数部」と、「虚数：\(j\) 」を含まない「実数部」に分けています。

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{Z_C}{R+Z_L+Z_C}$$

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{j \omega C}}{R+j \omega L+\displaystyle\frac{1}{j \omega C}}$$

右辺の分母と分子に「\(j \omega C\) 」を掛けます。

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{j \omega C}}{R+j \omega L+\displaystyle\frac{1}{j \omega C}}$$

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{1}{j \omega CR+j^2 \omega^2 LC+1} $$

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{1}{j \omega CR-\omega^2 LC+1} $$

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{1}{(1-\omega^2 LC)+ j \omega CR} $$

次に、右辺の分母と分子の両方に「\((1-\omega^2 LC)- j \omega CR\) 」を掛けて、分母の「\(j\) 」を消します。

これを、「分母の有理化」と言います。

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{1}{(1-\omega^2 LC)+ j \omega CR} $$

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{(1-\omega^2 LC)- j \omega CR}{((1-\omega^2 LC)+ j \omega CR)((1-\omega^2 LC)- j \omega CR)} $$

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{(1-\omega^2 LC)- j \omega CR}{(1-\omega^2 LC)^2- j^2 (\omega CR)^2} $$

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{(1-\omega^2 LC)- j \omega CR}{(1-\omega^2 LC)^2+(\omega CR)^2} $$

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{1-\omega^2 LC}{(1-\omega^2 LC)^2+(\omega CR)^2} +\displaystyle\frac{- j \omega CR}{(1-\omega^2 LC)^2+(\omega CR)^2}$$

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{1-\omega^2 LC}{(1-\omega^2 LC)^2+(\omega CR)^2} - j \displaystyle\frac{\omega CR}{(1-\omega^2 LC)^2+(\omega CR)^2}$$

「分母の有理化」を行うことで、右辺を「実数部」と「虚数部」に分けることができました。

この式の「実数部」は、「\(Re()\) 」を使って下記のように表せます。

$$Re\left(\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}\right)=\displaystyle\frac{1-\omega^2 LC}{(1-\omega^2 LC)^2+(\omega CR)^2}$$

$$Re\left(\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}\right)=\displaystyle\frac{1-(2 \pi f)^2 LC}{(1-(2 \pi f)^2 LC)^2+(2 \pi f CR)^2}$$

同様に「虚数部」は、「\(Im()\) 」を使って下記のように表せます。

$$jIm\left(\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}\right)=- j \displaystyle\frac{\omega CR}{(1-\omega^2 LC)^2+(\omega CR)^2}$$

$$jIm\left(\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}\right)=- j \displaystyle\frac{2 \pi f CR}{(1-(2 \pi f)^2 LC)^2+(2 \pi f CR)^2}$$

「\(Im(f(x))\) 」は、「複素数：\(f(x)\) 」の「虚数部」を表しますが、表すのは「\(j\) 」を除いた「実数部」と定義されているので、上のような表現になります。

ボード線図の減衰量と位相差を計算する式

ここでは、ボード線図の「減衰量」と「位相差」の計算式を求めます。

【減衰量：\(\zeta\) （ゼータ）】

最初に、上の「実数部」と「虚数部」を使って、「減衰量：\(\zeta\) 」を計算します。

「減衰量：\(\zeta\) 」の大きさは、「実数部」と「虚数部」が直交しているので、それぞれの大きさの二乗和平方根で計算できます。

$$\zeta=\sqrt{Re\left(\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}\right)^2+Im\left(\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}\right)^2}$$

上の式は、入力と出力の比率になるので、「\(dB\) 」で表す場合は下の式になります。

$$\zeta(dB)=20\log\left(\sqrt{Re\left(\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}\right)^2+Im\left(\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}\right)^2}\right)$$

【位相差：\(\varphi\) (ファイ)】

次に「実数部」と「虚数部」を使って、「位相差：\(\varphi\) 」を計算します。

$$\varphi (rad)=\arctan\left(\displaystyle\frac{Im\left(\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}\right)}{Re\left(\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}\right)}\right)$$

上の式は、単位が「\(rad\) （ラジアン）」なので、分かりやすいように単位を「\(deg\) （デグリー） または 度」で表す場合は下の式になります。

$$\varphi (deg)=\arctan\left(\displaystyle\frac{Im\left(\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}\right)}{Re\left(\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}\right)}\right) \times \displaystyle\frac{180}{\pi}$$

ただ、この式で位相を計算すると、計算結果は「\(\pm 90 deg\) 」の範囲になります。

そのため計算値が、「\(-90 deg \Rightarrow +90 deg\) 」に不連続に移行した後は、計算値に「\(-180 deg\) 」を加え、「\(+90 deg \Rightarrow -90 deg\) 」に不連続に移行した後は、計算値に「\(+180 deg\) 」を加えるという小細工が必要です。

このような小細工をしなくても良い関数や計算方法があれば、「お問合せへ」から情報をいただけると助かります。

波形を計算する式（時間の経過で変化する電圧値を算出）

次は波形の式ですが、上で求めた「\(\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\) 」の式を、「\(v_o(t)=\) 」に変形します。

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{1-\omega^2 LC}{(1-\omega^2 LC)^2+(\omega CR)^2} - j \displaystyle\frac{\omega CR}{(1-\omega^2 LC)^2+(\omega CR)^2}$$

$$v_o(t) =\displaystyle\frac{1-\omega^2 LC}{(1-\omega^2 LC)^2+(\omega CR)^2}v_i(t) - j \displaystyle\frac{\omega CR}{(1-\omega^2 LC)^2+(\omega CR)^2}v_i(t)$$

この式には、まだ「虚数：\(j\) 」が含まれているので、Excelで波形を描くには、「虚数：\(j\) 」を別の方法で表す必要があります。

最初に「実数部」ですが、こちらはそのまま「\(v_i(t)=V_{peak}\sin(ωt)\) 」と「\(\omega = 2 \pi f\) 」を代入します。

〔実数部〕

$$Re(v_o(t)) =\displaystyle\frac{1-\omega^2 LC}{(1-\omega^2 LC)^2+(\omega CR)^2}v_i(t)$$

$$Re(v_o(t)) =\displaystyle\frac{(1-\omega^2 LC)V_{peak}}{(1-\omega^2 LC)^2+(\omega CR)^2}\sin(\omega t)$$

$$Re(v_o(t)) =\displaystyle\frac{(1-(2 \pi f)^2 LC)V_{peak}}{(1-(2 \pi f)^2 LC)^2+(2 \pi f CR)^2}\sin(2 \pi f t)$$

次に「虚数部」ですが、「虚数部」は「実数部」に対して「90度」進んでいるので、下のように「虚数：\(j\) 」を、別の方法を使って表します。

〔虚数部〕

$$jIm(v_o(t)) =- j \displaystyle\frac{\omega CR}{(1-\omega^2 LC)^2+(\omega CR)^2}v_i(t)$$

$$jIm(v_o(t)) =- j \displaystyle\frac{\omega CR V_{peak}}{(1-\omega^2 LC)^2+(\omega CR)^2}\sin(\omega t)$$

$$jIm(v_o(t)) =- \displaystyle\frac{\omega CR V_{peak}}{(1-\omega^2 LC)^2+(\omega CR)^2}\sin(\omega t+90deg)$$

$$jIm(v_o(t)) =- \displaystyle\frac{\omega CR V_{peak}}{(1-\omega^2 LC)^2+(\omega CR)^2} \cos(\omega t)$$

$$jIm(v_o(t)) =- \displaystyle\frac{2 \pi f CR V_{peak}}{(1-(2 \pi f)^2 LC)^2+(2 \pi f CR)^2} \cos(2 \pi f t)$$

最後に、上の〔実数部〕と〔虚数部〕足し合わせます。

$$v_o(t) =Re(v_o(t)) +jIm(v_o(t))$$

$$v_o(t) =\displaystyle\frac{(1-(2 \pi f)^2 LC)V_{peak}}{(1-(2 \pi f)^2 LC)^2+(2 \pi f CR)^2}\sin(2 \pi f t) $$

$$-\displaystyle\frac{2 \pi f CR V_{peak}}{(1-(2 \pi f)^2 LC)^2+(2 \pi f CR)^2} \cos(2 \pi f t)$$

とても長い式になりましたが、Excelを使って「時間：\(t\) 」を変数にすれば、「\(v_o(t)\) 」の変化を計算する表を作成して、波形を描くことができます。

今回は計算式だけになりましたが、次回は「抵抗：\(R\) 」に「\(0.1Ω\) 」と「\(1Ω\) 」を入れて、ボード線図と波形を描いていきます。

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