「抵抗」「コンデンサー」「コイル」を使ったフィルター回路〔９〕（(Ｒ//Ｌ)-Ｃ：計算式）

2026年9月15日 2026年9月16日

講師Kazu

今回の記事の電源フィルター回路は、雑音の減衰量の点で前回の記事の回路に劣りますが、電圧が抵抗で下がらないという大きな利点があります。

今回の記事では、この回路のボード線図を描くための計算式を求めます。

「(R//L)-C」フィルター回路

今回の記事の回路図は、下記になります。

使っている部品は前回と同じですが、「抵抗：$R$ 」と「コイル：$L$ 」が、直列ではなく並列に接続されています。

「ボード線図」を描くときに使用する値を、下に示します。

・コイル（L）：10μH（=0.00001H）

・コンデンサー（C）：10μF（=0.00001F）

・抵抗（Ｒ）：0.01 ～ 1000Ω

・周波数（f）：0.1 ～ 1000kHz

この回路で、「$v_i(t)$ 」と「$v_o(t)$ 」の関係式は、「コイルのインピーダンス：$Z_L$ 」、「コンデンサーのインピーダンス：$Z_C$ 」、「抵抗：$R$ 」とすると下記になります。

$$v_o(t)=\displaystyle\frac{v_i(t)}{\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}+\displaystyle\frac{1}{Z_L}}+Z_C} \times Z_C$$

この式は、これまでと同様「$v_i(t)$ 」を「$R//Z_L+Z_C$ 」で割って流れる電流を求め、それに「$Z_C$ 」に掛けて「出力電圧：$v_o(t)$ 」を求めています。

それでは次の項で、上の式を変形して、ボード線図を描く式を求めていきます。

フィルターの減衰量計算式の複素化

最初に、前の項の計算式を変形して、フィルターの減衰量や位相差が計算できる「複素数形式：$a+jb$ 」にしていきます。

フィルターの減衰量は、出力を入力で割り算すると求まるので、まずは「$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}$ 」の式にします。

$$v_o(t)=\displaystyle\frac{v_i(t)}{\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}+\displaystyle\frac{1}{Z_L}}+Z_C} \times Z_C$$

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{Z_C}{\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}+\displaystyle\frac{1}{Z_L}}+Z_C} $$

この式に、「$Z_L=j \omega L$ 」と「$Z_C=\displaystyle\frac{1}{j \omega C}$ 」を代入して、「虚数：$j$ 」を含む「虚数部」と、「虚数：$j$ 」を含まない「実数部」に分けていきます。

まず、「$Z_L=j \omega L$ 」と「$Z_C=\displaystyle\frac{1}{j \omega C}$ 」を代入します。

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{Z_C}{\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}+\displaystyle\frac{1}{Z_L}}+Z_C} $$

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{j \omega C}}{\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}+\displaystyle\frac{1}{j \omega L}}+\displaystyle\frac{1}{j \omega C}} $$

左下の$\left(\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}+\displaystyle\frac{1}{j \omega L}}\right)$ の分母と分子に「$j \omega LR$ 」を掛けて、「分数」を減らします。

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{j \omega C}}{\displaystyle\frac{j \omega LR}{j \omega L + R} +\displaystyle\frac{1}{j \omega C}} $$

今度は、式全体の分母と分子に「$j \omega C (j \omega L+R) $ 」を掛けて、さらに「分数」を減らします。

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{j \omega C}}{\displaystyle\frac{j \omega LR}{j \omega L + R} +\displaystyle\frac{1}{j \omega C}} $$

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{j \omega C}}{\displaystyle\frac{j \omega LR}{j \omega L + R} +\displaystyle\frac{1}{j \omega C}} \times \displaystyle\frac{j \omega C (j \omega L+R)}{j \omega C (j \omega L+R)}$$

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{j \omega L+R}{(j \omega LR)(j \omega C)+j \omega L+R} $$

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{j \omega L+R}{-\omega ^2 LCR+j \omega L+R} $$

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{j \omega L+R}{(R-\omega ^2 LCR) + j \omega L} $$

次に、いつものように「分母の有理化」を行うために、分母と分子に「$(R-\omega ^2 LCR) - j \omega L$」を掛けます。

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{j \omega L+R}{(R-\omega ^2 LCR) + j \omega L} $$

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{j \omega L+R}{(R-\omega ^2 LCR) + j \omega L} \times \displaystyle\frac{(R-\omega ^2 LCR) - j \omega L}{(R-\omega ^2 LCR) - j \omega L}$$

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{(j \omega L+R)((R-\omega ^2 LCR) - j \omega L)}{(R-\omega ^2 LCR)^2 - (j \omega L)^2} $$

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{(j \omega L+R)(R-\omega ^2 LCR - j \omega L)}{(R-\omega ^2 LCR)^2 + (\omega L)^2} $$

「分母の有理化」ができたので、この式を整理しながら、「実数部」と「虚数部」に分けていきます。

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{(j \omega L+R)(R-\omega ^2 LCR - j \omega L)}{(R-\omega ^2 LCR)^2 + (\omega L)^2} $$

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{(j \omega LR-j \omega ^3 L^2CR - (j \omega L)^2) + (R^2 - \omega ^2 LCR^2 - j \omega LR)}{(R-\omega ^2 LCR)^2 + (\omega L)^2} $$

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{(-j \omega ^3 L^2CR + (\omega L)^2) + (R^2 - \omega ^2 LCR^2)}{(R-\omega ^2 LCR)^2 + (\omega L)^2} $$

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{R^2 + (\omega L)^2 - \omega ^2 LCR^2 -j \omega ^3 L^2CR}{(R-\omega ^2 LCR)^2 + (\omega L)^2} $$

$$\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}=\displaystyle\frac{R^2 + (\omega L)^2 - \omega ^2 LCR^2}{(R-\omega ^2 LCR)^2 + (\omega L)^2} - j \displaystyle\frac{\omega ^3 L^2CR}{(R-\omega ^2 LCR)^2 + (\omega L)^2}$$

式を整理することで、左側の「実数部」と、右側の「虚数部」に分けることができました。

この式の「実数部」は、「$Re()$ 」を使って下記のように表せます。

$$Re\left(\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}\right)=\displaystyle\frac{R^2 + (\omega L)^2 - \omega ^2 LCR^2}{(R-\omega ^2 LCR)^2 + (\omega L)^2}$$

$$Re\left(\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}\right)=\displaystyle\frac{R^2 + (2 \pi f L)^2 - (2 \pi f)^2 LCR^2}{(R-(2 \pi f)^2 LCR)^2 + (2 \pi f L)^2}$$

同様に「虚数部」は、「$Im()$ 」を使って下記のように表せます。

$$j Im\left(\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}\right)=-j \displaystyle\frac{\omega ^3 L^2CR}{(R-\omega ^2 LCR)^2 + (\omega L)^2}$$

$$j Im\left(\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}\right)=-j \displaystyle\frac{(2 \pi f)^3 L^2CR}{(R-(2 \pi f)^2 LCR)^2 + (2 \pi f L)^2}$$

前にも書きましたが、「$Im(f(x))$ 」は「複素関数：$f(x)$ 」の「虚数部」を表しますが、表すのは「$j$ 」を除いた「実数部」と定義されているので、上のような式になります。（数学的に表現が正確でないかもしれませんが…。）

ボード線図の減衰量と位相を計算する式

ここでは、ボード線図の「減衰量」と、入出力の「位相差」を計算する式を求めます。

【減衰量：$\zeta$ （ゼータ）】

最初に、上の「実数部」と「虚数部」を使って、「減衰量：$\zeta$ 」を計算します。

「減衰量：$\zeta$ 」の大きさは、「実数部」と「虚数部」が直交していることから、それぞれの大きさの二乗和平方根で計算できます。

$$\zeta=\sqrt{Re\left(\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}\right)^2+Im\left(\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}\right)^2}$$

上の式での計算結果は、入力と出力の比率になるので、「$dB$ 」で表す場合は下の式になります。

$$\zeta(dB)=20\log\left(\sqrt{Re\left(\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}\right)^2+Im\left(\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}\right)^2}\right)$$

【位相差：$\varphi$ (ファイ)】

次に「実数部」と「虚数部」を使って、「位相差：$\varphi$ 」を計算します。

$$\varphi (rad)=\arctan\left(\displaystyle\frac{Im\left(\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}\right)}{Re\left(\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}\right)}\right)$$

上の式は、単位が「$rad$ （ラジアン）」なので、分かりやすいように単位を「$deg$ （デグリー）または度」で表す場合は下の式になります。

$$\varphi (deg)=\arctan\left(\displaystyle\frac{Im\left(\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}\right)}{Re\left(\displaystyle\frac{v_o(t)}{v_i(t)}\right)}\right) \times \displaystyle\frac{180}{\pi}$$

ただ、この式で位相を計算すると、計算結果は「$\pm 90 deg$ 」の範囲です。

今回の回路の場合、入力に対する出力波形の位相は常に遅れていて、遅れ位相差は「$0 ～ -180 deg$ 」の範囲なので、Excelの「if関数」を使用して補正します。

具体的な方法は、次回の記事に書く予定ですが、「位相差」の計算結果がプラスになった場合、計算結果に「$-180 deg$ 」を加えます。

波形に関しては、これまでの記事でイメージできると思うので省略します。

次回は、「抵抗：$R$ 」を「$0.01 ～ 1000 \Omega$ 」まで変えたときのボード線図を描きます。

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