運動エネルギーの単位

今年最初の投稿では「位置エネルギの単位」について書きましたが、今回は位置エネルギーが運動エネルギーに変化する様子について書いてみようと思います。

「位置エネルギーの単位」では、質量：1kgのモノを高低差：1m持ち上げたときに、どれだけ位置エネルギーが増えたかを計算しました。

計算式で書くと、下記になります。

位置エネルギー＝mgh＝1（kg）× 9.8（m/s²）× 1（m）＝ 9.8（kgm/s²・m）＝9.8（J）

「J」は「ジュール」と読み、よく使用されるエネルギーの単位の一つです。

今日は、前回1mの高さまで持ち上げたモノが、元の高さまで落ちたときの運動エネルギーを計算します。

運動エネルギーは、速度をv（m/s）とすると「（1/2）× m（kg）× v²（m²/s²）」で求まります。

この式から運動エネルギーは、1（m）落下時の落下速度：v（m/s）が分かれば求まることが分かります。

それでは最初に、モノが1m落ちた瞬間の速度を計算する式を求めます。

モノの落下距離：h（m）、重力加速度：g（m/s²）、落下時間：t（s）、モノの落下速度：v（m/s）の関係は、下の①②の式で表せます。

① v（m/s）＝ g（m/s²）× t（s）＋ V₀（m/s）

　※ V₀（m/s）は、t（s）= 0（s）時の速度

② h（m）= 1/2 × g（m/s²）× t²（s²）＋ V₀（m/s）× t（s）＋ H₀（m）

　※ H₀（m）は、t（s）= 0（s）時の落下距離

学校で習う式の表記は「v＝at+V₀」や「S=(1/2)at²＋V₀t＋S₀」でしょうか。

「 (1/2)at² 」以外は、加速度と時間の掛け算が速度になるとか、速度と時間の掛け算が移動距離になるとかなので、イメージしやすいと思います。

「 (1/2)at² 」 の式を求めるには、積分的な考え方を使う必要があると思うのでちょっとイメージしにくいと思いますが、例えば0.1秒刻みくらいで速度と移動距離を計算していき、横軸時間でグラフ化するとイメージしやすいかもしれませんが、ここでは省略します。

モノが落下すると、位置エネルギーを失う代わりに運動エネルギーを得ます。

下の絵は、その様子を描いています。

落下を始める前のモノの速度：V₀は「0（m/s）」で、落下距離：H₀も「0（m）」の場合、①と②の式は下のようになります。

① v（m/s）＝ g（m/s²）× t（s）

② h（m）= 1/2 × g（m/s²）× t²（s²）

①、②の数値の中で、分からないのはv（m/s）とt（s）だけなので、まずは②の式からt（s）を求めて、それを①に代入します。

②の式を「t（s）＝」の形にすると「√（2h/g）」となり、単位は「√（m/（m/s²））＝√（s²）＝s」となります。

この式に、高さ：h＝1（m）を入力して計算すると、時間：t＝√（2×1/9.8）＝ 0.452（s）となります。

1mの高さを落下するのに要する時間は、0.452秒なんですね。

この時間を①の式に入れて計算すると、1m落下後の速度：v＝9.8（m/s²）×0.452（s）＝ 4.43（m/s）となります。

1mの高さを落下すると、速度が4.43（m/s）になりました。

これは、時速に換算すると4.43（m/s）× 60（s/分）×60（分/時）＝ 15,938（m/時）で、時速16kmくらいです。

0.452秒で時速16kmまで加速させるのだから、重力加速度：9.8（m/s）ってすごいと思います。

それでは運動エネルギーを求めましょう。

運動エネルギー ＝（1/2）× m × v² ＝（1/2）× 1（kg）× （4.43）²（m²/s²）＝ 9.8（kgm²/s²）＝ 9.8（J）

長々と計算してきましたが、運動エネルギーはやはり位置エネルギーと同じ9.8（J）になりました。

位置エネルギーの単位は「kgm/s²・m」で、運動エネルギーは「kgm²/s²」でしたが、「m」を移動すると同じ単位になります。

エネルギー保存の法則と整合する結果になって、ホッとしました。

次回は、たまたま数値が一致したのではないことを、式を使って確認したいと思います。

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