コンデンサーのインピーダンスの計算式「\(Z_C=1/(j \omega C)\) 」の求め方（２）

最近3回は、コイルに関する投稿でしたが、その投稿の中で「複素数」や「オイラーの公式」、「ネイピア数：\(e\) 」についても書いたので、今回はそれらを使いながら、コンデンサーのインピーダンスの計算式を求めていきます。

電圧と電流とキャパシタンスの関係式

今回想定する回路を下に示しますが、交流電圧源の両端にコンデンサーを接続したシンプルな回路です。

「電圧：\(v(t)\) 」と「電流：\(i(t)\) 」と、「コンデンサーのキャパシタンス：\(C\) 」の関係式については、過去の投稿で書いたと思っていましたが、「コンデンサーに加えた交流電圧・電流〔１〕（交流電流をコンデンサーに印加）」（2024/03/01投稿）を見ると、ウィキペディアの「リアクタンス」に書かれている関係式から、下の式を引用しただけでした。

$$v(t)=\displaystyle\frac{1}{C} \int i(t)dt$$

この式は、「電荷量：\(Q\) 」を表す「\(Q=CV\) 」の式を変形した、下の式からイメージできると思います。

$$V=\displaystyle\frac{1}{C} Q$$

「\(Q=It\) 」を入れると下記になります。

$$V=\displaystyle\frac{1}{C} It$$

この式は、電流が直流の場合の式ですが、交流の場合は、細かく刻んだ時間幅「\(\Delta t\) 」に、その瞬間、その瞬間の電流値「\(i(t)\) 」を掛けて、それらの総和を計算することで、時間の経過とともに増減するコンデンサーの電荷量「\(q(t)\) 」を求めることができます。

それを「キャパシタンス：\(C\) 」で割ると、コンデンサー両端の電圧「\(v(t)\) 」が求まります。

ここまでが、上に書いた式の説明です。

次の項では、コイルのときと同じように、電流の瞬時値を複素数で表す式「\(i(t)=I (\cos (\omega t) + j\sin (\omega t)) \) 」を使って上の積分の式を計算し、「\(v(t)\) 」を「\(i(t)\) 」で表す式にして、その式からコンデンサーのインピーダンスの計算式を求めます。

コンデンサーのインピーダンスの計算式の求め方（１）

まず、前の項に書いた、下の関係式から始めます。

$$v(t)=\displaystyle\frac{1}{C} \int i(t)dt$$

この式の「\(i(t)\) 」に、電流の瞬時値を複素数で表す式「\(i(t)=I (\cos (\omega t) + j\sin (\omega t)) \) 」を入れます。

$$v(t)=\displaystyle\frac{1}{C} \int I (\cos (\omega t) + j\sin (\omega t)) dt$$

「電流振幅：\(I\) 」は時間で変化しないので、時間積分の項の前に出します。

$$v(t)=\displaystyle\frac{I}{C} \int (\cos (\omega t) + j\sin (\omega t)) dt$$

$$v(t)=\displaystyle\frac{I}{C} \left(\int \cos (\omega t) dt + j\int \sin (\omega t) dt \right) $$

「\(\cos (\omega t)\) 」と「\(\sin (\omega t)\) 」を「時間：\(t\) 」で積分します。

$$v(t)=\displaystyle\frac{I}{C} \left(\displaystyle\frac{1}{\omega} \sin (\omega t) + j\left(-\displaystyle\frac{1}{\omega} \cos (\omega t)\right) \right) $$

$$v(t)=\displaystyle\frac{I}{C} \left(\displaystyle\frac{1}{\omega} \sin (\omega t) - j\displaystyle\frac{1}{\omega} \cos (\omega t) \right) $$

$$v(t)=\displaystyle\frac{I} {\omega C} \Bigl (\sin (\omega t) - j \cos (\omega t) \Bigr) $$

「\(\sin (\omega t) \) 」と「\(\cos (\omega t) \) 」の前に、\(\left(1=\displaystyle\frac{j}{j} \right) \) を入れます。

$$v(t)=\displaystyle\frac{I} {\omega C} \left(\displaystyle\frac{j}{j} \sin (\omega t) - j\displaystyle\frac{j}{j} \cos (\omega t) \right) $$

$$v(t)=\displaystyle\frac{I} {\omega C} \left(\displaystyle\frac{j}{j} \sin (\omega t) - \displaystyle\frac{(-1)} {j} \cos (\omega t) \right) $$

$$v(t)=\displaystyle\frac{I} {\omega C} \left(\displaystyle\frac{j}{j} \sin (\omega t) + \displaystyle\frac{1}{j} \cos (\omega t) \right) $$

\(() \)内の分母の「\(j\) 」を、\(() \)の外に出します。

$$v(t)=\displaystyle\frac{I} {j\omega C} \Bigl(j \sin (\omega t) + \cos (\omega t)\Bigr) $$

虚数の「\(j\sin (\omega t) \) 」を、実数の「\(\cos (\omega t) \) 」の後ろに移動します。

$$v(t)=\displaystyle\frac{I} {j\omega C} \Bigl(\cos (\omega t) + j\sin (\omega t)\Bigr) $$

ここで、最初に書いた電流の瞬時値の式の前と後を入れ替えた、「\(I (\cos (\omega t) + j\sin (\omega t)) =i(t)\) 」を上の式に入れます。

$$v(t)=\displaystyle\frac{1} {j\omega C} i(t) $$

最後にこの式を使って、コンデンサーのインピーダンスの計算式\(\left(Z_C=\displaystyle\frac{v(t)}{i(t)}\right)\) を求めます。

$$Z_C=\displaystyle\frac{v(t)}{i(t)}$$

上の式に\(\left(v(t)=\displaystyle\frac{1} {j\omega C} i(t) \right) \)を入れます。

$$Z_C=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1} {j\omega C} i(t)} {i(t)} $$

$$Z_C=\displaystyle\frac{1} {j\omega C} $$

この計算式は、「コンデンサーのインピーダンスの計算式「\(Z_C=\displaystyle\frac{1} {j\omega C} \) 」の求め方（１）」で求めた計算式と同じです。

今回の方が、コンデンサーのインピーダンスの計算式の求め方としては一般的な方法と思います。

次の項では、今回の計算をもっとシンプルに行う方法について書きます。

おそらくこちらが、最も一般的な方法と思います。

コンデンサーのインピーダンスの計算式の求め方（２）

前回の投稿「コイルのインピーダンスの計算式「\(Z_L=j\omega L\) 」の求め方（４）」に書いた「オイラーの公式」を使って、前の項の計算をもう少し簡単に行います。

まず、「オイラーの公式」は下記になります。

$$e^ {j x} =\cos x+ j \sin x$$

「\(x\) 」に「\(\omega t\) 」を入れます。

$$e^ {j \omega t} =\cos (\omega t) + j \sin (\omega t) $$

前の項に書いた「電圧」「電流」「キャパシタンス」の関係式に、この式を入れると下のように変形できます。

$$v(t)=\displaystyle\frac{1}{C} \int I \Bigl(\cos (\omega t) + j\sin (\omega t)\Bigr) dt$$

$$v(t)=\displaystyle\frac{1}{C} \int I e^ {j \omega t} dt$$

ここでも、時間で変化しない「電流振幅：\(I\) 」は、時間積分の項の前に出します。

$$v(t)=\displaystyle\frac{I}{C} \int e^ {j \omega t} dt$$

「\(e^ {j \omega t} \) 」を「時間：\(t\) 」で積分します。

$$v(t)=\displaystyle\frac{I}{C} \left (\displaystyle\frac{1} {j \omega} e^ {j \omega t} \right) $$

$$v(t)=\displaystyle\frac{I}{j \omega C} e^ {j \omega t} $$

上の式の右辺に、「\(I e^ {j \omega t} =i(t)\) 」を入れます。

$$v(t)=\displaystyle\frac{1} {j \omega C} i(t) $$

最後にこの式から、コンデンサーのインピーダンスの計算式\(\left(Z_C=\displaystyle\frac{v(t)} {i(t)} \right) \)を計算します。

$$Z_C=\displaystyle\frac{v(t)} {i(t)} $$

上の式に\(\left(v(t)=\displaystyle\frac{1} {j \omega C} i(t)\right) \)を入れます。

$$Z_C=\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1} {j \omega C} i(t)} {i(t)} $$

$$Z_C=\displaystyle\frac{1} {j \omega C} $$

これも、前の項と同じ式になりました。

これで、「抵抗」「コイル」「コンデンサー」のインピーダンスを複素数で表す式が、下記になることが分かりました。

$$Z_R=R$$

$$Z_L=j \omega L$$

$$Z_C=\displaystyle\frac{1} {j \omega C} $$

これらの式を使って、電源の雑音を抑える電源フィルターを設計してみようと思いますが、その前にいくつか、本題とは異なる投稿を行う予定です。

よろしければ以下のバナーをクリックしていただけると励みになります！

にほんブログ村
科学ランキング