コンデンサーのインピーダンスの計算式「$Z_C=1/(jωC)$」の求め方（１）

2025年7月14日 2025年9月24日

講師Kazu

今回も前回のコイルと同様、交流電圧源の『電圧』と、それに接続した「コンデンサー」と「抵抗」に流れる『電流』を使って、コンデンサーのインピーダンスを計算する式を求めてみます。

使用する回路

使用する回路は、前々回の投稿「電流や電力などの「極座標」を「複素平面」で表示〔２〕（抵抗とコンデンサー）」で使用した下の回路です。

「抵抗」や「コンデンサー」なども、前々回と同じ下記とします。

・電圧振幅$(V_{peak}):141V$（実効値：$100V_{rms}$ ）

・抵抗値$(R):100Ω$

・容量値$(C):18.37μF$（マイクロファラッド）

・周波数$(f):50Hz$（角周波数：$\omega=2\pi f$ ）

コンデンサーの容量値は、このあとの計算の都合で小数点二桁目まで記載しました。

電流の計算式

「交流電圧源」に流れる電流（抵抗とコンデンサーに流れる電流）の値は、前々回の投稿に書いた下記になります。

$$I=1.0+j0.577 $$

この電流値を複素平面上に表すと、下記になります。

この電流の値は、2024年3月に投稿した「コンデンサーに加えた交流電圧・電流〔１〕（交流電流をコンデンサーに印加）」で求めたコンデンサーのインピーダンスの大きさを計算する式「$\displaystyle\frac{1}{\omega C}$」を使って、下の式で求まります。

$$I=\displaystyle\frac{V}{R}+j\displaystyle\frac{V}{\left(\displaystyle\frac{1}{\omega C}\right)}$$

この式は、上の複素平面の縦軸と横軸の電流を足し合わせた式です。

「$R$ 」と「$C$ 」に流れる電流の計算式がシンプルなのは、「$R$ 」と「$C$ 」が直接電圧源に接続されているので、「$R$ 」と「$C$ 」に流れる電流はお互いに影響を与えることなく、電流値を個別に計算することができるからです。

「$R$ 」と「$C$ 」が直列接続だと、それぞれに流れる電流がお互いに影響を与えるので個別に計算できなくなり、電流を計算する式は複雑になります。

さて、話を戻して上の計算式で電流値を計算します。

まず、「角周波数：$\omega$ 」を、「周波数：$f$ 」で表します。

$$I=\displaystyle\frac{V}{R}+j\displaystyle\frac{V}{\left(\displaystyle\frac{1}{(2 \pi f)C}\right)}$$

次に、具体的な電圧値などを入れて、電流値を計算します。

$$I=\displaystyle\frac{100}{100}+j\displaystyle\frac{100}{\left(\displaystyle\frac{1}{(2 \pi \times 50)18.37\times 10^{-6}}\right)}$$

$$I=1.0+j\displaystyle\frac{100}{\left(\displaystyle\frac{1}{(100 \pi)18.37\times 10^{-6}}\right)}$$

$$I=1.0+j\displaystyle\frac{100}{\left(\displaystyle\frac{1}{18.37 \pi \times 10^{-4}}\right)}$$

$$I=1.0+j(100(18.37 \pi \times 10^{-4}))$$

$$I=1.0+j(18.37 \pi \times 10^{-2})$$

$$I=1.0+j(57.7 \times 10^{-2})$$

$$I=1.0+j0.577 $$

最初に書いた複素数の電流値になりました。

上の複素平面のグラフに、電流の計算式を青字で追記しておきます。

「抵抗」と「コンデンサー」のインピーダンスの計算式

それでは、電流と電圧から、インピーダンスの計算式を求めます。

まず、「電圧＝電流✕インピーダンス」の式を下に示します。

$$V=I \times Z$$

「$Z$ 」は、インピーダンスを表す記号です。

この式を使って、インピーダンスの計算式を求めていきます。

$$V=I \times Z$$

$$Z=\displaystyle\frac{V}{I} $$

上の式の「$I$ 」に、$\left(I=\displaystyle\frac{V}{R}+j\displaystyle\frac{V}{\left(\displaystyle\frac{1}{\omega C}\right)}\right)$を入れます。

$$Z=\displaystyle\frac{V}{\displaystyle\frac{V}{R}+j\displaystyle\frac{V}{\left(\displaystyle\frac{1}{\omega C}\right)}} $$

$$Z=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}+j\displaystyle\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{1}{\omega C}\right)}} $$

上の式の右下の$\left(j\displaystyle\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{1}{\omega C} \right)} \right)$の分子と分母に$\left(\displaystyle\frac{1}{j}\right)$を掛けます。

$$Z=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}+j\displaystyle\frac{\left(\displaystyle\frac{1}{j}\right)}{\left(\displaystyle\frac{1}{\omega C} \right) \left(\displaystyle\frac{1}{j} \right)}} $$

$$Z=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}+\displaystyle\frac{\left(\displaystyle\frac{j}{j}\right)}{\left(\displaystyle\frac{1}{j \omega C}\right)}} $$

$$Z=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{R}+\displaystyle\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{1}{j \omega C}\right)}} $$

この式の変形は、ここで止めておきます。