電気回路_抵抗〔４〕Δ-Y回路の関係式の求め方

2022年10月11日 2022年11月17日

講師Kazu

今回は、前回の投稿（抵抗〔３〕）で使用した抵抗のΔ（デルタ）-Y（スター）変換の関係式を求めてみます。

抵抗のΔ-Y回路と関係式

前回の投稿で使用した、抵抗のΔ（デルタ）-Y（スター）の回路図と関係式は下記になります。

〔回路図〕

〔関係式〕

$$R_a=\displaystyle\frac{R_{ab}R_{ca}}{R_{ab}＋R_{bc}＋R_{ca}}$$

$$R_b=\displaystyle\frac{R_{bc}R_{ab}}{R_{ab}＋R_{bc}＋R_{ca}}$$

$$R_c=\displaystyle\frac{R_{ca}R_{bc}}{R_{ab}＋R_{bc}＋R_{ca}}$$

右のY型回路のRa、Rb、Rcの抵抗値は、左のΔ型回路のRab、Rbc、Rcaから上の関係式で求めることができます。

前回の投稿では、この関係式を使用して下の不平衡ブリッジ回路の電流値を計算しました。

不平衡ブリッジ回路というのはR5に電流が流れる回路で、平衡ブリッジ回路はR5に電流が流れない回路です。

平衡ブリッジ回路では、R1～R4に下記の関係が成立します。

$$R1:R3=R2:R4$$

$$R1×R4=R3×R2$$

不平衡ブリッジ回路では、上の等号が不等号（≠）に変わります。

平衡ブリッジ回路ではC点とB点の電位が等しくなるので、R5に電流が流れません。

前回の投稿で電流値を求めた回路は、不平衡ブリッジ回路になります。

抵抗のΔ-Y回路から式を立てる

それでは、抵抗のΔ-Y回路の関係式を求めていきます。

抵抗のΔ（デルタ）-Y（スター）の回路図を下にもう一度記載します。

〔回路図〕

左右の回路で、AとBの間の抵抗値が等しくなることを表す式は下記になります。

$$Ra+Rb=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{Rab}+\displaystyle\frac{1}{Rbc+Rca}}　・・・ (１)$$

左辺は、右の回路図の抵抗RaとRBの直列接続なので、二つの抵抗の加算です。

右辺は、左の回路図の抵抗Rabと（Rbc＋Rca）の並列接続なので、それぞれの抵抗の逆数を加算した、その逆数になります。

この左辺と右辺が等しくなるというのがAとBの間に成り立つ式です。

同様にして、BとC、CとAの間に成り立つ式を求めます。

$$Rb+Rc=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{Rbc}+\displaystyle\frac{1}{Rca+Rab}}　・・・ (２)$$

$$Rc+Ra=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{Rca}+\displaystyle\frac{1}{Rab+Rbc}}　・・・ (３)$$

この３つの連立方程式から、Ra、Rb、RcをRab、Rbc、Rcaで表せる関係式を求めます。

抵抗のΔ-Y変換回路の関係式を導く

(１)の式の分母から分数を消します。

$$Ra+Rb=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{Rab}+\displaystyle\frac{1}{Rbc+Rca}}=\displaystyle\frac{Rab(Rbc+Rca)}{\displaystyle\frac{Rab(Rbc+Rca)}{Rab}+\displaystyle\frac{Rab(Rbc+Rca)}{Rbc+Rca}}=\displaystyle\frac{Rab(Rbc+Rca)}{Rbc+Rca+Rab}　・・・ (１)’$$

(２)(３)も同様に分母から分数を消します。

$$Rb+Rc=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{Rbc}+\displaystyle\frac{1}{Rca+Rab}}=\displaystyle\frac{Rbc(Rca+Rab)}{\displaystyle\frac{Rbc(Rca+Rab)}{Rbc}+\displaystyle\frac{Rbc(Rca+Rab)}{Rca+Rab}}=\displaystyle\frac{Rbc(Rca+Rab)}{Rca+Rab+Rbc}　・・・ (２)’$$

$$Rc+Ra=\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{1}{Rca}+\displaystyle\frac{1}{Rab+Rbc}}=\displaystyle\frac{Rca(Rab+Rbc)}{\displaystyle\frac{Rca(Rab+Rbc)}{Rca}+\displaystyle\frac{Rca(Rab+Rbc)}{Rab+Rbc}}=\displaystyle\frac{Rca(Rab+Rbc)}{Rab+Rbc+Rca}　・・・ (３)’$$

(１)’～(３)’の分母が全て「Rab＋Rbc＋Rca」になりました。

それでは最初に、RaをRab、Rbc、Rcaで表す式を求めます。

まず(２)’の式の両辺から(３)’の式の両辺を引きます。

$$Rb+Rc-(Rc+Ra)=\displaystyle\frac{Rbc(Rca+Rab)}{Rca+Rab+Rbc}-\displaystyle\frac{Rca(Rab+Rbc)}{Rab+Rbc+Rca}$$

$$Rb-Ra=\displaystyle\frac{RbcRca+RbcRab-(RcaRab+RcaRbc)}{Rab+Rbc+Rca}$$

$$Rb=Ra+\displaystyle\frac{RbcRab-RcaRab}{Rab+Rbc+Rca}$$

この式を(１)'のRbに代入します。

$$Ra+Rb=\displaystyle\frac{Rab(Rbc+Rca)}{Rbc+Rca+Rab}　・・・ (１)’$$

$$Ra+Ra+\displaystyle\frac{RbcRab-RcaRab}{Rab+Rbc+Rca}=\displaystyle\frac{Rab(Rbc+Rca)}{Rbc+Rca+Rab}$$

$$2Ra=\displaystyle\frac{Rab(Rbc+Rca)}{Rbc+Rca+Rab}-\displaystyle\frac{RbcRab-RcaRab}{Rab+Rbc+Rca}$$

$$2Ra=\displaystyle\frac{RabRbc+RabRca-(RbcRab-RcaRab)}{Rab+Rbc+Rca}$$

$$2Ra=\displaystyle\frac{RabRca+RcaRab}{Rab+Rbc+Rca}$$