電気回路_コイルのエネルギー〔３〕

今回は、電流が「ゼロ」から「\(I\)」A（アンペア）まで増えたときに、コイルに蓄えられるエネルギーを計算します。

コイルのエネルギーの計算方法

前回は、コイルに流れる電流が増え始めた直後の微小な時間「\(Δt\)」の間に、コイルに蓄えられるエネルギーを計算しました。

その内容を簡単に書くと、下のグラフの左端の微小な時間「\(Δt\)」での電流、電圧、時間を掛け算して、コイルには\(\left(Δi✕L\displaystyle\frac{Δi}{Δt}✕Δt\right)\)Ｊ（ジュール）のエネルギーが蓄えられることを求めました。

今回は、最初の微小な時間「\(Δt\)」のエネルギーを計算してから、次の「\(Δt\)」、次の「\(Δt\)」と小刻みにエネルギーの計算式を求め、最後に全てを足し合わせて全体のエネルギーを計算する式を求めます。

そのために電流が増加する時間をｎ分割し、最初の電流の範囲を（１）、2番目の電流の範囲を（２）、ｎ番目の電流の範囲を（ｎ）とすると、それぞれの電流の範囲は下のようになります。

（１）\(0Δi\)　～　\(1Δi\)

（２）\(1Δi\)　～　\(2Δi\)

（３）\(2Δi\)　～　\(3Δi\)

　　　　　：

（\(ｎ\)）\((n-1)Δi\)　～　\(nΔi\)

それでは、（１）から（ｎ）のエネルギーの計算式を求めて足し合わせます。

コイルのエネルギーの計算式

まず、（１）から（ｎ）のエネルギーを計算する式を書きます。

エネルギーは、電流と電圧と時間のかけ算で求まるので、下記になります。

（１）\(Δi✕L\displaystyle\frac{Δi}{Δt}✕Δt=Δi✕LΔi=LΔi^2\)

（２）\(2Δi✕L\displaystyle\frac{Δi}{Δt}✕Δt=2Δi✕LΔi=2LΔi^2\)

（３）\(3Δi✕L\displaystyle\frac{Δi}{Δt}✕Δt=3Δi✕LΔi=3LΔi^2\)

　　　　　　　　　　　　：

（ｎ）\(3Δi✕L\displaystyle\frac{Δi}{Δt}✕Δt=nΔi✕LΔi=nLΔi^2\)

エネルギーの計算式から、時間が消えました。

この意味は、コイルに流れる電流が早く増えてもゆっくり増えても、増えた電流が同じならコイルに蓄えられるエネルギーは変わらないということです。

コイルに蓄えられるエネルギー：\(E\)を計算する式を下に示します。

$$E=LΔi^2+2LΔi^2+3LΔi^2+…+nLΔi^2$$

$$=(1+2+3+…+n)LΔi^2$$

過去の投稿に書いた「\(1+2+3+…+n=\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}\)」の公式を使うと、上の式は下のようになります。

$$E=\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}LΔi^2$$

「\(Δi=\displaystyle\frac{I}{n}\)」を上の式に入れます。

$$E=\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}L\left(\displaystyle\frac{I}{n}\right)^2$$

$$=\displaystyle\frac{n(n+1)}{2n^2}LI^2$$

$$=\displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{1}{n}}{2}LI^2$$

ここで\(n\)→\(∞\)にします。

$$E=\lim_{n \to ∞}\displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{1}{n}}{2}LI^2$$

$$=\displaystyle\frac{1}{2}LI^2$$

この計算には、「\(\lim_{n \to ∞}\left(\displaystyle\frac{1}{n}\right)=0\)」になることを使っています。

ここまでの式を整理すると、下のように書けます。

$$E=\lim_{n \to ∞}\sum_{k=1}^{n}kL\left(\displaystyle\frac{I}{n}\right)^2$$

$$=\lim_{n \to ∞}(1+2+3+…+n)L\left(\displaystyle\frac{I}{n}\right)^2$$

$$=\lim_{n \to ∞}\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}L\left(\displaystyle\frac{I}{n}\right)^2$$

$$=\lim_{n \to ∞}\displaystyle\frac{1+\displaystyle\frac{1}{n}}{2}LI^2$$

$$=\displaystyle\frac{1}{2}LI^2$$

コイルに蓄えられているエネルギーは、コイルのインダクタンス：Ｌ（H_ヘンリー）と電流：Ｉ（Ａ_アンペア）から計算できることが分かりました。

次回は、コンデンサーのエネルギーと比較した記事を書こうと思います。

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