直流と交流の違い〔３〕（sinθ と cosθの説明）

2023年9月25日 2023年12月15日

講師Kazu

電圧が変化する交流電源「$V_{AC}$」の最大値が「+$1.41✕V_{DC}$」、最小値が「-$1.41✕V_{DC}$」になることをこれから計算していきますが、その最初のステップとして、まずは「$V_{AC}$」を表す式を求めます。

下の画像は前回の投稿で使用したグラフで、DC100VとAC100Vの電圧が、時間の経過でどう変化するか（しないか）を描いたものです。

DC100Vの青い線は「$V_{DC}=100V$」、AC100Vの赤い線は「$V_{AC}=100V$」を表します。

「$V_{DC}$」の電圧は時間が経過しても100Vですが、「$V_{AC}$」の電圧は時間とともに変化するので、それを表す記号として「$V_{AC}(t)$」を使用します。

ここでの「$t$」は、経過時間です。

「$V_{AC}$」は交流の電圧値（正確には実効電圧値）ですが、「$V_{AC}(t)$」は時間が「$t$」経過した瞬間の電圧値です。

「$V_{AC}(t)$」は0m秒では0V、5m秒では＋141V、10m秒では0V、15m秒では－141V、20m秒では0Vと変化します。

今回求めるのは、この「$V_{AC}(t)$」を表す式です。

まずは「$V_{AC}(t)$」の最大値を「＋1」、最小値を「－1」として考えてみます。

下に、3つのグラフの画像を貼り付けたので、順番に説明していきます。

まず、右上のグラフですが、これはAC100Vの電圧の変化のグラフと同じ形をしています。

違いは、最大値と最小値が「＋1」と「－1」になっている点と、横軸が「経過時間」ではなく「角度」になっている点です。

右上のグラフの赤い線が上下する動きは、左上に描いた円グラフの上下方向の動きと、角度を介して一致します。

二つのグラフには、角度が60度のときの位置を書き込みました。

一方、左下のグラフの黒い線は、上下ではなく左右に動いており、こちらも左上に描いた円グラフの左右方向の動きと、角度を介して一致します。

こちらにも、角度が60度のときの位置を書き込みました。

左上の円グラフの円の半径は「1」で、横軸と縦軸が交差している原点が中心になっており、単位円とよばれます。

この単位円で、右方向を基準に反時計回りに角度が変化すると、上下方向も左右方向も値は「＋1」から「－1」の間で変化します。

仮に縦軸を「$y$」、角度を「$\theta$」とすると、「$y$」と「$\theta$」の関係は下の式で表せます。

$$y=\sin\theta$$

「$\sin$」は「サイン」、「$\theta$」は「シータ」とよぶので、「$\sin\theta$」は「サインシータ」とよびます。

同様に横軸を「$x$」とすると、「$x$」と「$\theta$」の関係は下の式で表せます。

$$x=\cos\theta$$

「$\cos$」は「コサイン」とよぶので、「$\cos\theta$」は「コサインシータ」とよびます。

「$V_{AC}(t)$」を式で表すには、この「$\sin\theta$」を使えば良さそうです。

ただ、「$V_{AC}(t)$」の式を求めるには、もう少し考える必要がありそうなので、続きは次回書こうと思います。

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